1
a : b = c : d
2
b × c = a × d
3
\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}\;\Longrightarrow\;\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}
4
\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}\;\Longrightarrow\;\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{d}}
5
\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}\;\Longrightarrow\;\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}+\mathrm{d}}{\mathrm{d}}
6
\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}\;\Longrightarrow\;\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}-\mathrm{d}}{\mathrm{d}}
7
\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}\;\Longrightarrow\;\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}+\mathrm{d}}{\mathrm{c}-\mathrm{d}}
8
\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}
9
\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\mathrm{k}\;\Rightarrow\;\mathrm{a}=\mathrm{bk},\;\mathrm{c}=\mathrm{dk}
10
\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{f}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{c}+\mathrm{e}}{\mathrm{b}+\mathrm{d}+\mathrm{f}}
11
\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}
12
\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}\;\Rightarrow\;\mathrm{b}^{2}=\mathrm{ac},\;\mathrm{c}^{2}=\mathrm{bd},\;\mathrm{ad}=\mathrm{bc}
13
\mathrm{x}:\mathrm{y}:\mathrm{z}=\mathrm{a}:\mathrm{b}:\mathrm{c}\;\Rightarrow\;\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{c}}=\mathrm{k}